שאלה.6: (לא ברשימה) על מוט מבודד באורך פיסיקה ב' - פתרון שאלות מחוברת הקורס מפוזר מטען חשמלי פרק בצפיפות אחידה. - P א. ב. ג. חשב את צפיפות המטען האורכית. חשב את השדה החשמלי בנקודה הראה כי במרחקים גדולים הנמצאת במרחק מקצה מוט כמופיע באיור. תשובתך לסעיף ב' תצטמצם לשדה של מטען נקודתי. - P λ פתרון: א. צפיפות המטען האורכית במוט: ב. נקבע ציר אופקי שכיוונו שמאלה וראשיתו בנקודה P. נחלק את המוט לאלמנטים דיפרנציאליים λ λ F F F ( ) F ( ) (נקודתיים) ונחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה P: מתקיים בקירוב: נסכום על כל הכוחות (ע"י אינטגרל): ( ) ( ) ג. עבור מרחקים גדולים מהמוט כלומר כך שניתן לקרב את בכוח לביטוי הבא: שאלה.7:
- λ λ λ שאלה.: (לא ברשימה) מוט מבודד דק שאורכו נושא בחציו העליון מטען בצפיפות אחידה ובחציו התחתון מטען בצפיפות - - - - - - P. λ א. ב. ג. השתמש בשיקולי סימטריה על מנת למצוא את כיוונו של השדה החשמלי בנקודה P. חשב את השדה החשמלי בנקודה P. >> פתרון: קח את הגבול בו ומצא את השתנות השדה החשמלי במרחקים גדולים. איזה סוג של שדה הוא מזכיר?. א. ציירו שני אלמנטים במרחק שווים ותראו שהרכיבים בציר מתבטלים. כך שמשיקולי סימטריה ניתן להניח בכיוון השדה יהיה הכיוון השלילי של ציר. θ P ב. נחלק את המוט לאלמנטים ונחשב את השדה הדיפרנציאלי שיוצר אלמנט ואת השדה החשמלי נקבל ע"י אינטגרל על כל השדות שיוצרים האלמנטים. המשתנה שלפיו נבצע את האינטגרציה יהיה הזוית שבין השדה הדיפרנציאלי לאנך. המשמעות היא שבבניית האינטגרל עליי לבטא את כל המשתנים באמצעות cosθ cosθ tnθ λ cosθ ĵ snθ λ θ cos θ cosθ λθ ( cosθ ĵ snθ ) ( cosθ ĵ snθ ) θ cos θ הזוית:
נגדיר את הזווית הקיצונית ביותר (לצורכי גבולות איטגרציה): cosθ snθ λ λ λ θ λθ (- λ) θ cosθ ĵ snθ ( cosθ ĵ snθ ) θ λ [ snθ ĵ cosθ ] [ snθ ĵ cosθ ] θ λ [( snθ ) ĵ ( cosθ ) ] ( snθ ) ĵ ( cosθ ) >> λ נבצע את האינטגרל (שימו לב לגבולות): [ ] λ ( cosθ ) θ λ - λ - λ - θ θ ג. נבצע את הקירוב ונמצא את השדה: λ השדה הוא:. זהו שדה של דיפול חשמלי. שאלה.:
( ) שאלה.5: מדיסקה שרדיוסה אחידה σ הוצאה דיסקה שרדיוסה הטעונה בצפיפות מטען שטחית. כך שנוצרה דיסקה עם חור במרכזה (ראה איור). הדיסקה מונחת. חשב את השדה החשמלי בנקודה במישור ng ( ) פתרון: שדה חשמלי של טבעת דקה על ציר הסימטריה: ע"י ביטוי זה נחשב שדה חשמלי של טבעת בעל עובי דיפרנציאלי בעלת רדיוס כלשהו ואז נסכום ע"י אינטגרל לפי הרדיוסים: σ S σ σ σ ( ) ( ) ( ) σ σ ( ) σ
(המישרב אל).7 הלאש הבוגב ילמשחה הדשה תא ובשח הסוידרש תילגעמ הקסד לש הזכרמל לעמ הנועטה ןעטמב תופיפצב הדיחא אל α.σ תועצמאב םכתבושת תא ועיבה. :אבה לרגטניאב שמתשהל ךרוצ שי :ןורתפ :הקסדה לע ללוכה ןעטמה תא בשחנ הליחת S σ α α α α α :הירטמיסה ריצ לע הקד תעבט לש ילמשח הדש ng הז יוטיב י"ע ילאיצנרפיד יבוע לעב תעבט לש ילמשח הדש בשחנ סוידר תלעב והשלכ םוכסנ זאו :םיסוידרה יפל לרגטניא י"ע S σ α α α α α α α :אבה ןפואב ונלביקש יוטיבה תא טשפל ןתינ α
שאלה.8 (לא ברשימה) ( ) î פתרון: לשם כך נשתמש בביטוי של שדה של טבעת: נחלק את הגליל לטבעות בעל עובי דיפרנציאלי (מבט מהצד): σ σs המטען הדיפרנציאלי של טבעת: עבור טבעת דיפרנציאלית ועפ"י מערכת הצירים שבחרתי השדה הדיפרנציאלי המתאים: î î ( ) ( ) שימו לב שהציר חיובי ימינה והגדרתי את האפס בנקודה. כך שהמשתנה הוא שלילי. כדי "לתקן" ולהחזיר את השדה להיות חיובי הוספתי מינוס לפני הביטוי. נחשב את השדה הכולל ע"י אינטגרל (שימו לגבולות): î î ( ) ( ) [ ] ( ) î [ ] ( ) î שאלה.
:. הלאש םה ינוציחהו ימינפה היסוידרש הבע תירודכ הפילק ו הדיחא אל תיחפנ תופיפצב ןעטמ תאשונ רשאכ.ירפסמ עובק וניה ירודכה ללחה לש וזכרמב ) ( יתדוקנ ןעטמ יוצמ. ירפסמה עובקה תויהל ךירצ המ םוחתב הדשהש תנמ לע עובק היהי.קחרמב יולת יתלב רמולכ :ןורתפ :עובק היהיש שורדנו רודכה ךותב םיוסמ סוידרב ילמשחה הדשה תא בשחנ S S S n n n תא םצמצל לכונש ידכ ב יולת היהי אל השה ךכו האושהמ לש םידדצה ינשב םיעובקהש ךירצ ומצמטצי האוושמה לש ןימי דצב :רמולכ
שאלה.: כדור מלא שרדיוסו א. נושא מטען חשמלי בצפיפות מטען אחידה. הוא הוקטור ממרכז כאשר הראו כי השדה החשמלי בתוך הכדור נתון בביטוי ב. הכדור לנקודה כלשהי בתוך הכדור. קודחים חלל כדורי שרדיוסו בתוך הכדור. הראו כי השדה החשמלי בכל נקודות החלל הכדורי כאשר הוא הוקטור המחבר את מרכז הכדור למרכז הוא אחיד ונתון בביטוי החלל. פתרון: א. ניצור מעטפת גאוס כדורית בתוך הכדור בעלת מרכז משותף עם הכדור (כך שרדיוסה קטן מרדיוס S n S n הכדור ). ע"י חוק גאוס נמצא את השדה החשמלי בתוך הכדור: ב. נשתמש בסופרפוזיציה של כדור מלא עם "חור" (צפיפות שלילית). נתייחס למקרה ככדור שלם ומלא (רדיוס ( בעל צפיפות מטען וכדור קטן (רדיוס ) בעל צפיפות מטען. נחשב את השדה שגורם כל אחד מהכדורים "הדמיוניים" וסכום של שני השדות ייתן לנו את השדה אותו אנו מחפשים. באופן כללי שדה חשמלי בתוך כדור מלא ( ) וטעון בעל צפיפות מטען אחידה ניתן ע"י: וכעת ניתן לחשב:
(המישרב אל). הלאש הדיחא תיחטשמ תופיפצב ןועט יפוסניא רושימ ןעטמ לש תיפוסניא תירושימ הבכש.σ בחור לעב הדיחא תופיפצו.רושימל הדומצ.םהיתומוקמל םיעובק םינעטמה לכ.בחרמה ירוזא לכב ילמשחה הדשה תא ובשח הבכשה זכרמב םיריצה תישאר תא וחק.תירושימה :ןורתפ.הבכשה תרצויש ילמשחה הדשה תאו רושימה רוציש ילמשחה הדשה תא דוחל בשחנ רבחל לכונ ךכ רחא (היציזופרפוס).םירוזאהמ דחא לכב תודשה תא הדיחא תיחטשמ תופיפצ לעב יפוסניא רושימ רצויש ילמשח הדש סואג קוח י"ע לבקתמ)σ עצבתמ כ"דב :(האצרהב σ הדשה ןוויכ רושימל בצינב אוה תיבויח תופיפצ רובע.ץוח יפלכ הדיחא תופיפצ תלעב הבעה הבכשה תרצויש ילמשח הדש קוח י"ע ךשמהב ףרוצמה חפסנב בשוחמ.סואג ריצ רובע אוה בושיחה.הבכשה זכרמב ותישארש ךכ הבכשל ךנואמ :ץוחבמ הדשה > :םינפבמ הדשה > > היציזופרפוס רחאל דחיב הבכשהו רושימה םירצויש בחרמב הדשה תא םילבקמ :(הלאשל הבושתה וז) > > σ σ σ σ
נספח לחישוב שדה של שכבה מישורית טעונה אחיד: נבחר את הראשית במרכז השכבה. מבט מהצד: מישור n משיקולים של סימטריה (זהים לאלה של לוח מישורי ללא עובי) מסיקים שכיוון השדה החשמלי ניצב ללוח בכיוון החוצה מהלוח. ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך ששטח הפאה העליונה ושטח הפאה XY התחתונה הוא. מרחק הפאה העליונה ומרחק הפאה התחתונה ממישור גאוס ונחשב בנפרד כל אחד מצידי המשוואה: שווה. נכתוב את חוק n S S שימו לב שבחישוב האינטגרל רק דרך הפאות העליונה והתחתונה יש שטף מכיוון שבפאות האלה S. נשווה בין הצדדים: ניצב ל S ואילו בשאר הפאות מקביל ל > כעת ניצור מעטפת גאוס קובייתית כך שהגובה שלה קטן מעובי הלוח ושוב מרחק הפאות העליונה והתחתונה ממישור יהיה שווה ל : מישור :( S n נחשב את השדה מתוך חוק גאוס ) S n > >
שאלה.8: חסר שרטוט בשאלה!!! פרק מערכת מורכבת משלשוה מוליכים קונצנטריים: קליפה כדורית פנימית דקה ברדיוס בעלת רדיוס פנימי הטעונה במטען א. ב. ג. ד. ה. קליפה עבה וחיצוני וקליפה חיצונית דקה בעלת רדיוס. ואילו הקליפה המרכזית טעונה במטען מהי התפלגות המטענים על שפות הקליפה העבה המרכזית? מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק ממרכז המערכת בכל המרחב?. הקליפה הדקה החיצונית כעת מחברים את הקליפה הפנימית והחיצונית ע"י תיל מוליך שעובר דרך חור קטן בקליפה העבה. מהי התפלגות המטענים על הקליפות המרכיבות את המערכת? מהו השדה החשמלי כפונקציה של המרחק כמה מטען עבר בין הקליפה החיצונית והפנימית? ממרכז המערכת בכל המרחב? פתרון: א. המטענים בקליפה העבה יסתדרו כך שהשדה החשמלי בקליפה הזו מתאפס כלומר הרדיוס הפנימי לא יהיה מטען וברדיוס החיצוני. לפיכך המטענים הם: יהיה. ב. קליפה כדורית יוצרת בתוכה שדה חשמלי אפס ואילו מחוצה לה נתין להתייחס אליה כמטען נקודתי. בסה"כ ישנם חמישה אזורים שונים. נחבר לכל אזור בנפרד את השדות החשמליים שיוצרות הקליפות: 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( > ) ג. כאשר מחברים את הקליפה הפנימית לחיצונית מטען יכול לעבור בין הקליפות. המטען יעבור כך שהפוטנציאל של שתי הקליפות יהיה שווה. ניתן לרשון שתי משוואות אחת לשימור מטען ואחת לשוויון הפוטנציאלים:
(ורבע םינעטמהש רחאל) בחרמב הדשה תא אצמנ תחא לכ לע לאיצנטופה תא אוצמל לכונ ונממו :תופילקהמ [ ] [ ] 7 6 7 7 7 7 5 5 5 > הבעה הפילקב םינעטמה תא בשחל ןתינו :(ךילומב ספא אוה הדשהש ךכ םירדתסמ) 7 6 7.ד :ילמשחה הדשה 7 6 7 5 >.ה :איה תימינפל תינוציחה הפילקמ הרבעש ןעטמה תומכ 7
כאשר שאלה.9 (לא ברשימה) כדור שרדיוסו א. טעון בצפיפות מטען לא אחידה הביעו את מטענו הכללי של הכדור באמצעות: קבוע.. ב. מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב. ג. מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב. m ד. כדור קטן שמסתו ומטענו משוחרר ממנוחה במרחק ממרכז הכדור. מה תהיה מהירותו של הכדור בהגיעו למרחק של ממרכז הכדור? פתרון: א. חישוב המטען הכולל על הכדור: נשתמש בחוק גאוס עם מעטפת גאוס כדורית. עבור סימטריה כדורית מתקיים: S ( > ) : n ב. עבור האזור החיצוני: עבור האזור הפנימי: n : ( ) ג. את הפוטנציאל מחשבים ע"י אינטגרל על השדה החשמלי: ( > ) : ( ) : [ ]
U mv mv mv U ( ) ד. נקרא לנקודת השחרור ולנקודה הסופית נקרא. מתקיים שימור אנרגיה: v m
כל שאלה. (לא ברשימה) תיל שאורכו העשוי חומר מבודד כופף לצורה המורכבת משני קטעים ישרים שאורכם אחד המחוברים ביניהם ע"י קשת חצי מעגלית שרדיוסה ומרכזה בנקודה O. התיל נושא מטען חשמלי כללי א. המפוזר בצורה לא אחידה על פני מקטעי התיל השונים. המקטע הישר השמאלי נושא מטען חשמלי חיובי המפוזר עליו בצורה אחידה בצפיפות λ ואליו הקטע הישר הימני נושא מטען חשמלי שלילי המפוזר עליו בצורה אחידה λ. הקשת המעגלית נושאת מטען בצפיפות אחידה λ. הביעו את λ באמצעות (לא בהכרח כולם). ב. ג. חשבו את השדה החשמלי השקול בנקודה O (גודל וכיוון). חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה O. λ λ O λ. פתרון: א. נסכום את כל המטען על כל חלקי התיל ונשווהל נוכל לבודד מהמשוואה שנקבל את λ: λ λ λ λ λ ב. נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל קטע בתיל ולבסוף נחבר את השדות וקטורית. נגדיר ציר חיובי ימינה וציר חיובי כלפי מעלה. ראשית הצירים בנקודה O. λ λ λ λ λ ( ) נחשב את השדה שיוצר המוט השמאלי (צפיפות חיובית): λ λ λ ( ) ( ) ( ) המוט השלילי יוצר את אותו שדה וגם באותו כיוון: נחשב את השדה שיוצר החלק הקשתי של התיל. משיקולי סימטריה ניתן להבין שלאחר סכימה על כל חלקי התיל הקשתי יישאר רק רכיב אנכי כלומר בציר :
[ ] [ ] [ ] cos cos cos sn sn cos λ λ λ θ λ θ θ λ θ θ θ λ :תודשה לכ תא םוכסנ O λ λ λ λ λ λ.ג יבויח היהי ילאמשה טומה רצויש לאיצנטופה (תיבויח תופיפצ) היהי ינמיה טומה רצויש לאיצנטופה ילאמשה טומה רצויש לאיצנטופל הווש ןמיסב ךופה ךא (תילילש תופיפצ) דחא וספאי םה רבחנשכ ךכ ינשה תא רמולכ.םתוא בשחל ךרוצ ןיא :ליתה לש יתשקה קלחה רצויש לאיצנטופה תא בשחל ראשנ λ θ λ θ λ
שאלה. (לא ברשימה) א. יריעה אינסופית טעונה במטען חיובי בצפיפות אחידה σ. חשב את העבודה המבוצעת ע"י השדה החשמלי של היריעה כאשר מטען נקודתי נע מפני ב. היריעה עד למרחק ל: כמתואר בציור. השתמש בתוצאות של הסעיף הקודם והראה כי הפוטנציאל החשמלי של יריעה אינסופית שווה σ הוא הפוטנציאל החשמלי על פני היריעה.. כאשר פתרון: σ א. השדה החשמלי בנוצר ע"י היריעה במרחב (בחרתי ציר ניצב למישור היריעה): נחשב את הכוח שמפעיל השדה על המטען: F σ נחשב את עבודת השדה: W σ σ F W σ ( ) σ ( ) ב. נחשב את הפוטנציאל במרחק מהיריעה:
שאלה. (לא ברשימה). צפיפות המטען נתונה ע"י מטען מפוזר על פני טבעת שטוחה בעלת רדיוס פנימי ורדיוס חיצוני σ כאשר הוא מרחק ממרכז הטבעת לנקודה כלשהי עליה. הראו כי הפוטנציאל במרכז 8 הטבעת שווה ל: S פתרון: נחלק את הטבעת הנתונה לטבעות דקות בעלות עובי דיפרנציאלי. שטח כל טבעת דקה: σ S כך נוכל להביע את הקבוע המטען של כל טבעת דקה: נסכום על כל המטן של כל הטבעות ונשווה ל- ע"י הפרמטרים של ( ) ( ) השאלה: כל טבעת יוצרת במרכזה את הפוטנציאל הבא: נסכום את הפוטנציאלים של כל הטבעות הדקות: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 8 : נציב את הביטוי שקיבלנו לקבוע שאלה.6:
שאלה מאד דומה לשאלה.7 פתרון: א. נחשב את צפיפות המטען על המקל כאשר הצפיפות אחידה החישוב מבצע ע"י סה"כ המטען חלקי. λ סה"כ האורך: ב. נגדיר את ראשית הצירים בנקודה השמאלית של המקל ואת כיוון הציר ימינה. נחלק את המקל לאלמנטים דיפרנציאליים נחשב את השדה החשמלי שיוצר כל אלמנט בנקודה P ונסכום ע"י אינטגרל î λ ( ) ( ) î î λ λ ( ) ( ) î λ ( ) î λ î î כדי לקבל את השדה החשמלי: ג. נרשום את השדה כפונקציה של המרחק מהקצה הימני לצורך העניין נגדיר את הראשית מחדש בקצה î [ n n( ) ] [ n n( ) n( ) n( ) ] n הימני של המוט:
( n( בביטוי השני ניתן להזניח את הערה: כאשר מציבים את גבולות אינסוף מקבלים ( n( ואז שני הביטויים מצטמצמים. ו ד. עבור שני הביטיים שקיבלנו נראה מה קורה עבור : n ( ) שאלה.:
(המישרב אל). הלאש סוידר לעב אלמ לילגל וסחייתה הבוגו יללכ ןעטמ אשונה.הדיחא תופיפצב.א הירטמיסה ריצ לע ילמשחה לאיצנטופה תא ובשח קחרמב.ויסיסבמ דחאמ.ב הירטמיסה ריצ לע ילמשחה הדשה תא ובשח קחרמב.ויסיסבמ דחאמ :ןורתפ סוידר לעב אלמ לילגל וסחייתה הבוגו יללכ ןעטנ אשונה.הדיחא תופיפצב יוטיבב ושמתשה הירטמיסה ריצ לע הקסד לש לאיצנטופל :ובשחו (רבעב בשוח רבכש).א קחרמב ילמשחה לאיצנטופה תא.ויסיסבמ דחאמ.ב.לאיצנטופה ךותמ ילמשחה הדשה תא ובשח :םכשומישל n!!!!ןורתפל םג טוטרש ךירצ :ןורתפ.א.הקסד לש ילמשח לאיצנטופב שמתשנ לאיצנטופה תא בשחל ידכ תוקסד לע לרגטניא עצבנ.לילגה רצויש ילמשחה :לאיצנטופה תא םיבשחמ ונא הב הדוקנב תישארה תא יתרדגה n n n n ϕ ϕ ϕ ϕ
.ב לאיצנטופה ךותמ הדשה בושיח :(תעגיימ הריזג) n ϕ יל יפוי הנושאר הכמב ןוכנ אצי!!!תויועט שפחל ךירצ אל
קרפ הלאש (המישרב אל). אוה ןהיניב חוורמהש תוילרטינו תוכילומ תוליבקמ תולבט יתש ןחטשו.ךילומ לית י"ע ןהיניב תורבוחמ תישילש תכתמ תלבט החטשש ןכ םג ןעטמב הנועטה תולבטה יתש ןיב לא תסנכומ תונושארה ןהיתשל הליבקמ קחרמב תאצמנו.הנוילעה הלבטהמ.א תיעצמאה הלבטה לש ןותחתהו ןוילעה םיחטשמה ןיב ןעטמה קלחתמ דציכ?.ב תוחול גוז לכ ןיב םילאיצנטופה שרפה והמ?.ג ןותחתה תולבטה גוזו ןוילעה תולבטה גוז ןיב ילמשחה הדשה והמ?.ד תכרעמה לש היגרנאה יהמ? :ןורתפ.א לויכ עבקנ.ספאל הווש לאיצנטופה ןכיה עבקנ רמולכ חולה לע ספאל הווש לאיצנטופהש יתרחב.ןותחתה ןותחתה חולהו ןוילעה חולה לע םינעטמה םה םימלענה םירבד ינש םיעודי ונתוא םילבומה :תואוושמ יתשל ןותחתה חולה לש םינעטמה םוכס ) ( חולהו ןוילעה ספאל הווש ( ) תסנכה ינפל םיילרטינ םהש ןותנ) :(יעצמאה חולה הזל הז םיווש תוחולה ינש לע םילאיצנטופה.(ךילומב םירבוחמ םה) רוזא לכב ילמשחה הדשה תא בשחנ ןוילעה חולה לע לאיצנטופה תא בשחנ הדשה לע לרגטניא י"עו :םכריכזהל) :( σ σ σ σ σ σ :ןוילעה חולה לע לאיצנטופה בושיח ϕ
:םכריכזהל) ןותחתה חולה לש לאיצנטופל ןוילע חולה לש לאיצנטופה תא הוושנ :(ϕ תואוושמ יתש ונל שיו () ו () םינתשמ ינש םע ו. :רותפנ 6 6.ג :םייזכרמה םירוזאה ינשב תודשה תא םושרל ןתינ 6 6 6 6.ב :ןותחתל יעצמאה חולה ןיב םילאיצנטופה שרפה ϕ :יעצמאה חולל ןוילעה חולה ןיב םילאיצנטופה שרפה ϕ
.5 הלאש (המישרב אל) םיסוידר ילעב םיכילומ םירודכ ינש -ו םידגונמו םיווש םינעטמב םינועט ±.המאתהב יזכרמ םירודכה -ה ריצ לע םיחנומ אוה םהיזכרמ ןיב קחרמה רשאכ.רויאב ראותמכ םינותנ..והנשמ לע עיפשמ אל דחא רודכש ךכ לודג םירודכה ןיב קחרמה יכ וחינה.א הדוקנב ילמשחה הדשה והמ p םירודכה יזכרמ ןיב רבחמה וק לע תאצמנה?.ב םירודכה יחטשמ ןיב םילאיצנטופה שרפה והמ?.ג יוטיבב ןותנ תכרעמה לש לוביקה יכ וארה C ש יאנתבו >>. :ןורתפ :יתדוקנ ןעטמ לש ומכ אוה רודכל ץוחמ ןועט ךילומ רודכ לש ילמשח הדש.א p.ב :הדשה לע לרגטניא י"ע אצמנ םילאיצנטופה שרפה תא ϕ.ג :לוביקה תרדגה י"פע אצמנ לוביקה תא C ϕ םייקתמ וב הרקמה רובע >> : C הלאש :. p
שאלה.5: ( ) פתרון: א. נתון חומר דיאלקטרי: נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט: כל האלמנטים מחוברים בטור (חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון) והגודל הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות. קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי: C
:םיטנמלאה לש םייכפוהה םוכסל הווש ירוט רוביחב לוקשה לש יכפוהה [ ] n n n n n n C C :תיפוסה הבושתה n C.ב :לבקה תוחול לע ןעטמ n C.ג :סואג קוח י"ע ילמשחה הדשה בושיח לבקה ךותב תאצמנ תחא האפש תיתייבוק סואג תפטעמ םירצוי לבקל ץוחמ תאצמנ היינש האפו םכריכזהל).(ספאל הווש לבקל ץוחמ הדשה n n.ד :רחא ירטקלאיד רמוח םע ליגרת ותוא םיכנואמ םיטנמלאל םיקלחמ :ליבקמב םירבוחמ םהש ךכ :תוחולה חטשש חיננ
:טנמלא לכ רובע ילאיצנרפיד תויהל ךפוהש אוה חטשה C ליבקמב םירבוחמ םיטנמלאה לכש ןוויכמו :םיטנמלאה לש הליגר המיכס י"ע לוקשה תא אצמנ C C
שאלה.6 קבל גלילי בנוי ממוליך גלילי פנימי ארוך בעל רדיוס של מוליך גלילי חיצוני שרדיוסו ריק. אם נתון כי פוטנציאל המוליך הפנימי הוא הפנימי הוא אפס חשבו את: א. ב. הנתון בתוך חללו (ראו שרטוט). התווך בין הגלילים הינו ופוטנציאל המוליך צפיפות המטען האורכית (מטען ליחידת אורך) על כל אחד ג. פתרון: ממוליכי הקבל. השדה החשמלי במרחק את קיבול הקבל ליחידת אורך. מציר האורך של המוליך הגלילי הפנימי. הדרכה: חשבו קודם את הקיבול וממנו את צפיפות המטען באמצעות הגדרת הקיבול. את השדה σ החשמלי חשבו באמצעות חוק גאוס. ג. נניח שהמטען הפנימי הוא החיובי השדה בתווך שבין הגלילים הוא (חוק גאוס): σ ' ' ' - [ n ] n C C n n n C λ n n n n נחשב את הפרש הפוטנציאלים: הקיבול ליחידת אורך: א. נחשב את צפיפות המטען: ב. השדה החשמלי (נציב את המטען בביטוי שקיבלנו בהתחלה):
שאלה.7 (לא ברשימה) על הקליפה C כדי לקבל את פתרון: א. תחילה נחשב קיבול של קבל כדורי רגיל (ללא חומר דאלקטרי): השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי על אחת הקליפות ומטען שלילי השנייה. לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה: הקיבול. שימו לב שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד (רדיוסים) ולא במטען. נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית: - - C ( - ) ( - ) והקיבול הוא: נתון מקדם דיאלקטרי: נחלק את הקבל לאלמנטים של קבלים כדוריים דקים (העובי דיפרנציאלי). הקיבול של אלמנט:
- C C 8 C C האלמנטים מחוברים בטור ולפיכך נסכום על ההופכיים כדי לקבל את ההופכי של השקול: 8 σ 8 8 ב. כדי למצוא את צפיפות המטען על כל אחד מהלוחות נמצא את המטען על כל אחד מהלוחות ונחלק 8 C σ בשטח: הנחתי שהמטען החיובי על הלוח החיצוני והמטען השלילי על הלוח הפנימי.
שאלה.8: C n פתרון: קיבול ליחידת אורך של קבל גלילי: נחלק את הקבל הנתון לשני אלמנטים גליליים הראשון עם חומר דיאלקטרי והשני בלי חומר דיאלקטרי. C n n 5 C 5 n( 5) n n C C C C n n( 5) n n( 5) n( 5) n n ( 5) האלמנטים מחוברים בטור:
שאלה.9 (לא ברשימה) פתרון: א. נתון חומר דיאלקטרי: נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט:
כל האלמנטים מחוברים בטור (חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון) והגודל הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות. C C C C ( ) קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי: ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים: C σ ב. צפיפות מטען: ג. U C ד. האנרגיה האגורה בקבל:
:. הלאש אוה ימינפה וכילומ סוידרש ירודכ לבקב אוה ינוציחה וסוידרו אלוממ לבקה חפנרויאב ראותמכ רשקה יפל תכרעמה זכרממ קחרמה םע הנתשמ יסחיה ועובקש ירטקלאיד רמוחב רשאכ ו.םיבויח םיעובק םה ןעטמ ןעטנ תימינפה הפילקל יכ עודי תינוציחה היפלקל וליאו ןעטמ ןעטנ. :םינותנ..א קחרמב ילמשחה הדשה תמצע תא ובשח תכרעמה זכרממ..ב.לבקה יכילומ ןיב םילאיצנטופה שרפה תא ובשח.ג.ירודכה לבקה לוביק תא ובשח :הכרדה α α α ctn :ןורתפ רדסה יפל םיפיעסה תא רותפל רשפא בשחל ףידעמ ינא.םיחתמ שרפה ינפל לוביק.א :ילמשחה הדשה.ג ילאיצנרפיד יבוע תולעב תוירודכ תופילקל קוריפ י"ע עצבתי לוביקה בושח םירבוחמ םיטנמלאה :רוטב C C C C ctn ctn ctn ctn ctn.ב :לוביקה תרדגה י"פע אצמנ םיחתמה שרפה תא C ctn ctn
פרק 5 שאלה 5.6: שאלה 5.7 (לא ברשימה) ניתן לשנות את ההתנגדות הסגולית של חצי מוליך על ידי הוספה של זיהומים. מוט העשוי חומר חצי מוליך מונח לאורך ציר ה- ל- בין. כתוצאה מההוספה של הזיהומים מציית המוט קצה המוט הנמצא בנקודה. e לחוק אוהם והתנגדותו הסגולית משתנה לפי הקשר. נמצא בפוטנציאל הגבוה ב מהקצה הנמצא ב. נתון כי שטח החתך של המוט הוא e א. ב. ג. חשבו את התנגדותו של המוט. מצאו את השדה החשמלי במוט כפונקציה של המרחק חשבו את הפוטנציאל במוט הנמדד מקצהו השמאלי של המוט. S. כפונקציה של. התנגדות התיל: e e. כפונקציה של ד. פתרון: ציירו גרפים המתארים את ההשתנות של א. נחלק את המוט לפרוסות בעלות שטח חתך ואורך דיפרנציאלי e [ e ] [ e ] ג. נחשב את הזרם דרך הנגד. נחשב את התנגדות הנגד כפונקציה של יחסית לנקודה בה נכנס הזרם. [ ] [ e ] e e [ e ] ( e ) e ( e ) [ e ] את הפרש הפוטנציאלים כפונקציה של נמצא ע"י חוק אוהם: e ( e ) e e ב. שדה חשמלי נמצא ע"י ביצוע גרדיאנט על הפוטנציאל: e ( e ) e
הלאש :5.8 תילוגסה ותודגנתהש ךילומ ויסיסב ןיב קחרמהש םוטק טורח לש הרוצל בצוע.לאמשמש רויאב ראותמכ םה טורחה יסיסב סוידר -ו יכ חינהל ולכות..ההז אוה םוטקה טוחה לש ילגעמ ךתח חטש לכ ךרד םרזה :ובשח.א.ויסיסב ןיב דגנה תודגנתה תא.ב טורחה לש לודגה סיסבהמ קחרמה לש היצקנופכ ילמשחה הדשה רשאכ אוה טורחה יסיסב ןיב םילאיצנטופה שרפה..ג רובע יכ וארה החסונל םכתבושת םצמטצת S. :ןורתפ.א יבועב תוקסיד לש םינטק םיטנמלא לע לרגטניא י"ע עצבתמ תודגנתהה בושיח : - - - - - - - S - S S.ב דגנה ךרד םרזה אצמנ :(םהוא קוח י"ע) -ב תולתב דגנב תמיוסמ הדוקנל דע תודגנתהה תא בשחנ :(םרזה סנכנ הב הדוקנל תיסחי תודגנתהה וז) - - -
:וז הדוקנב לאיצנטופה תא בשחל לכונ םהוא קוח י"עו :לאיצנטופה לע טנאידרג סונימ י"ע אצמנ ילמשחה הדשה תא.ג שקבתמה לובגה תא קודבנ : S
מייצרים נגד על ידי חיתוך הדיסקה שאלה 5.9: חסר שרטוט!!! מדיסקה חלולה שעובייה ורדיוסיה הפנימי והחיצוני הם ו- החלולה לאורך קוטר באופן שמתקבלת צורה המזכירה פרסה (ראו איור משמאל). מוליכותה הסגולית של. א. ב. הדיסקה σ. מחברים את הנגד בין שני המשטחים הקדמיים למקור המח המספק הפרש פוטנציאליים תוכלו להניח כי הזרם זורם לאורך חצאי מעגלים. חשבו:. את התנגדות הנגד. את וקטור צפיפות הזרם ג. את הפוטנציאל החשמלי כפונקציה של הזווית הקוטבית φ בהנחה כי הפוטנציאל החשמלי בנקודה בה הזרם יוצא הוא אפס. קחו את φ להיות אפס בנקודה בה הזרם נכנס. ( בעלי שטח חתך דיפרנציאלי ואורך של חצי σ S S σ σ σ n עובי σ n פתרון: א. מחלקים לאלמנטים חצי מעגליים (רדיוס מעגל. האלמנטים מחוברים במקביל: ב. מכיוון שהאלמנטים מחוברים במקביל ניתן לחשב את הזרם דרך כל אלמנט ע"י חוק אוהם. את הזרם σ ( φ) σ n φ φ σ n ( φ) ( φ) על כל אלמנט נחלק בשטח החתך של האלמנט כדי לקבל את צפיפות הזרם: σ φ φ S σ φ φ σ n φ σ n ג. נחשב את הזרם דרך הנגד: נחשב את הפוטנציאל בזווית מסוימת: φ
שאלה 5.: 6 שאלה 6.: פרק 7 שאלה 7.: פרק שאלה 7.6:
(המישרב אל) 7.7 הלאש ןוויכ תא יתרחב :ןורתפ ריצ!ףדה ךותל.הצוחה ינוציחבו המינפ םרזה ימינפה ךילומבש חיננ יפוסניא ילילג ךילומב תמייקתמה הירטמיסב :רפמא קוחב שמתשהל ןתינ n. הירטמיסל סוידרב תילגעמ רפמא תאלול םירצוי תאזכ אצמנ הזכרמש.יזכרמה הירטמיסה ריצ לע לש ינמיה דצה רחבנש סוידר לכל םיאתמ רפמא קוח :(הירטמיסב קר אלא יטנגמה הדשה לש םינושה םירוזאב יולת וניא) רחא רוזאב היהת אה םעפ לכבש ךכ האלולה סוידר תא הנשנ םינושה םירוזאב הדשה תא אוצמל ידכ :האלולה ךרד תרבועה םרזה תומכ תא רוזא לכב בשחנו n n n n n n n n > >
שאלה 7.8 (לא ברשימה) צינור ארוך דק דפנות אשר רדיוסו החיצוני הינו נושא זרם המפולג בצורה אחידה. כיוון הזרם בצינור הוא אל תוך הדף. במרחק ממרכז הצינור מוצב תיל הנושא זרם חשמלי במקביל לציר הצינור ובאותו כיוון (ראה איור). א. חשב את השדה המגנטי במרכז הצינור. ב. חשבו את השדה המגנטי בנקודה P הנמצאת במרחק ממרכז הצינור. על מנת שעצמת השדה המגנטי השקול בנקודה ג. מה צריך להיות היחס בין הזרמים ו- P תהיה שווה לזו שבמרכז הצינור אך הפוכה לו במגמה? P פתרון: בחרתי את כיוון ציר מעלה. א. השדה המגנטי במרכז הצינור מושפע רק מהתיל החיצוני ולא מהצינור עצמו ניתן להסביר זאת ע"י חוק אמפר: ( ) ( ) n n ( ) P מהתיל: 6 כך שבנקודה במרכז הצינור קיים שדה מגנטי של תיל אינסופי במרחק ב. כל אחד מהגופים יוצר שדה של תיל אינסופי נחשב ונחבר וקטורית כדי למצוא את השקול: ( ) ( ) : נשווה לביטוי שקיבלנו בסעיף ב' ונבודד את הזרם ( ) 8 6 P 6 6 ג. נדרוש: 8
שאלה 7.9: שאלה 7.:
שאלה 7.: במוליך גלילי ארוך שרדיוסו הסימטריה כולו שקוטרם נקדחו שני חללים לאורך ציר כמתואר באיור משמאל. P המוליך נושא זרם א. בניצב למישור האיור ובמגמה החוצה. חשבו את השדה המגנטי בנקודה P במרחק ה- ממרכז הגליל. הנמצאת על ציר ב. חשבו את השדה המגנטי בנקודה הנמצאת על ציר ה- ובמרחק ממרכז הגליל. הדרכה: התייחסו לחללים הגלילים כאל מוליכים הנושאים זרם באותה צפיפות אולם במגמה הפוכה. S פתרון: ציר לתוך הדף! נמספר את ה"גופים": גליל מלא רדיוס שהזרם בו החוצה מהדף. אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף. אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף. הגליל החלול העליון בעל רדיוס הגליל החלול התחתון בעל רדיוס כדי לחשב את השדות בנקודות השונות מחשב את השדה שיוצר כל "גוף" ונחבר וקטורית. א. נחשב את צפיפות הזרם במוליך ובאמצעותה נחשב את ה"זרם" בכל אחד מה"גופים": ( out) S נחשב השדה המגנטי שיוצר כל אחד מה"גופים" (כמו תילים אינסופיים) בנקודה P ונחבר וקטורית (הוספתי שני שרטוטים שמסבירים את הזוויות והכיוונים של השדות שיוצרים כל אחד מהחללים):... ( n) θ P θ θ θ P
P sn cos sn cos θ θ θ θ.ב הדוקנל ןפוא ותואב הטושפ רתוי איה) :(תויווז ןיאש ןוויכמ P הלאש :7.
P הלאש :7.5 ךרואב רשי לית םרז אשונה רויאב תראותמה המגמב -ה ריצ ךרואל חנומ..חינז ליתה יבוע.א הדוקנב יטנגמה הדשה תא ובשח P -ה ריצ לע תאצמנה הבוגבו.וילעמ ןמ ךנאה יקחרמ הדוקנה P ליתל םה ליתה תוצק לא..ב הדוקנה וב בצמב יטנגמה הדשה תא ובשח P.טוחה עצמא לעמ.ג הדוקנה וב בצמב יטנגמה הדשה תא ובשח P.טומה תוצקמ דחא לעמ.ד 'ב ףיעסל םכתאצות םצמטצת המל רובע >>? :ןורתפ קלחנ הדוקנב טנמלא לכ רצויש יטנגמה הדשה תא בשחנו ילאיצנרפיד ךרוא ילעב םיטנמלאל טומה תא P : :ליתה לכ לע לרגטניא תא עצבנ הדשה תא אוצמל ידכ ריצ ןוויכ.ץוח יפלכ אוה P
םיריצה תישארמ הווש קחרמב תויהל טומה תוצק תא חקינ.ב :רמולכ. יוטיבב ביצנ :'א ףיעסב ונלביקש.ג טומה לש ילאמשה הצקל םיריצה תישאר תא זיזנ :רמולכ. ונלביקש יוטיבב ביצנ :'א ףיעסב.ד רובע >> :!יפוסניא לית לש יטנגמ הדש
P הלאש (המישרב אל) 7.6 תינבלמ האלול לש הזכרמב יטנגמה הדשה לדוג יכ וארה 'קנ) P הכרואש ( הבחורו םרז תאשונה :ל הווש. םצמטצת המל לובגב םכתאצות >>? :ןורתפ וזכרמל בצינב תאצמנה הדוקנב יפוס לית רצויש יטנגמה הדשה תא אוצמל שי הליחת ומכ ןפוא ותואב) ליגרתב.('ב ףיעס 7.5.וז הלאשל םימיאתמה םינותנה תא יטנגמה הדשה לש יוטיבב ביצנ עלצה.יטנגמ הדש ותוא תא תורצוי תילאמשהו תינמיה עלצהו יטנגמ הדש ותוא תא תורוצי הנותחתו הנוילעה לכ ןוויכ ותואב תודשה תעברא הנותחת עלצ לש יטנגמ הדש.(ץוח יפלכ) :(הנוילעה לש הזל הוושש) תינמי עלצ לש יטנגמ הדש :(תילאמשה לש הזל הוושש) :ןבלמה זכרמב ללוכה יטנגמה הדשה eft gt Don Up לובגב >> : םייפוסניא םילית ינש ןיב זכרמב קוידב תאצמנה הדוקנב יטנגמ הדש והז לית לכמ קחרמה רשאכ).(
n שאלה 7.8 (לא ברשימה) תיל דק מקופל לצורת מצולע משוכלל בעל זרם צלעות החסום ע"י מעגל שרדיוסו. ידוע כי התיל נושא. n tn ( n). א. הראו כי גודל השדה המגנטי במרכז המצולע נתון ע"י ב. הראו כי בגבול n גודלו של השדה המגנטי במרכז המצולע הוא כגודלו של השדה המגנטי במרכזה של לולאה מעגלית. θ θ θ θ θ θ פתרון: (כללי לאו דווקא למשושה) א. נוסחה לחישוב הזווית θ שהגדרתי בשרטוט המצולע: θ n θ n snθ cosθ כאשר במקרה של המצולע: שדה מגנטי שיוצר תיל אחד באורך בנקודה הנמצאת בניצב למרכז התיל במרחק ממרכז התיל: נציב בביטוי של השדה המגנטי ונכפול ב- n צלעות כדי לקבל את השדה במרכז המצולע (שימו לב שכל הצלעות יוצרות שדה מגנטי באותו כיוון לתוך הדף ולכן נתין לחבר באופן פשוט): n snθ sn θ cosθ n tnθ n tn( n) cos θ n tnθ sn θ cos θ n tn n n n n n n tn( n) n θ tnθ ב. נשתמש בזהות: θ במקרה שלנו: הביטוי שאליו שואף השדה המגנטי הוא של שדה מגנטי של כריכה מעגלית. שאלה :7. שאלה :7.5
(המישרב אל) :7. הלאש הסוידרש תעבט יללכ ןעטמב הנועט דדובמ רמוחמ היושעה.הדיחא הרוצב הכרואל גלופמה העובק תיתיווז תוריהמב תבבוס תעבטה.הזכרמב רבועו הרושימל בצינה ריצל ביבסמ ω.א הדוקנב תבבוסה תעבטה תרצויש יטנגמה הדשה תא ובשח P הבוגב ריצה לע תאצמנה לעמ.הרושימ.ב?ךופה ןוויכב בבותסת תעבטה םא הרקי המ :ןורתפ אוה העונתב אצמנש תעבטב ןעטמה תרצויש םרזה :(בוביס לש םלש רוזחמ לע לכתסנ) ω ω T t T.ונבשיחש םרזה הב םרוזש תילגעמ תעבטש בצמל סחייתנ תעכ :תכרעמה לש דצ טבמ cos cos sn ϕ ϕ θ θ θ ϕ :בל ומיש :תויווז יתש ןנשי.העובק תיווז איהש θ -ו טנמלאה םוקימ יפל הנתשמש תיווז איהש ϕ.תעבטב וספאתי םה לרגטניאה רחאלש ןוויכמ יטנגמה הדשה לש םייקפואה םיביכרה תא ונתמשר אל.(הירטמיס ילוקישמ) :תעבטה לכ לע תיווזה יפל לרגטניאה תא עצבנ ϕ :תיפוסה הבושתה תא לבקנו הלחתהב ונלביקש םרזל יוטיבה תא ביצנ ω ω ω P θ θ
פרק 8 שאלה 8.: שאלה 8.6: שאלה 8.: שאלה 8.5: שאלה 8.9: שאלה 8.: שאלה 8.9: שאלה 8.:
שאלה 8. (לא ברשימה) Φ S αt αt פתרון: א. השטף המגנטי: ב. הכא"מ המושרה: Φ t αt t α t ג. הספק החום: P α t ד. כמות האנרגיה שנפלטה בזמן הנתון: α t U Pt T t α T